Большая советская энциклопедия - средние

Средние, средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций. 1) Средним для данной группы чисел x1, x2,..... xn называется любое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются: арифметическое среднее , геометрическое среднее , гармоническое среднее , квадратичное среднее Если все числа xi (i = l,2,..., n) положительны, то можно для любого a ? 0 определить степенное С. частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: s (а равняется a, h и q соответственно при a = 1, —1 и 2. При a ® 0 степенное С, sa стремится к геометрическому С., так что можно считать s0 = g. Важную роль играет неравенство sa ? sb, если a ? b, в частности h ? g ? a ? q. Арифметическое и квадратичное С. находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С. могут быть получены из формулы , где f-1(h) — функция, обратная к f (x) (см. Обратная функция), при соответствующем подборе функции f (x). Так, арифметическое С. получается, если f(x) = x, геометрическое С. — если f (x) = log x, гармоническое С. — если f (x) = 1/x, квадратичное С. — если f (x) = x2. Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные степенные С. в частности при a = 1, , которые переходят в обыкновенные степенные С. при р1 = р2 =... = pn. Взвешенные С. особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом). 2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел а и b составляются арифметическое С. a1 и геометрическое С. g1. Затем для пары a1, g1 снова находятся арифметическое С. a2 и геометрическое С. g2 и т.д. Общий предел последовательностей an и gb, существование которого было доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим С. чисел а и b; он важен в теории эллиптических функций. 3) Средним значением функции называется любое число, заключенное между наименьшим и наибольшим ее значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или ее производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f (x) непрерывна на отрезке а, b и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка с, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что f (b) — f (a) = (b—a) f’(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если f (x) непрерывна на отрезке а, b, а j(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала (а, b) такая, что В частности, если j(x) = 1, то Вследствие этого под средним значением функции f (x) на отрезке а, b обычно понимают величину Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.